Después de tres décadas de búsqueda, matemáticos armados con superordenadores han identificado finalmente el valor de un número complejo que antes se creía imposible de calcular: un nuevo ejemplo de un número entero especial llamado número de Dedekind.
Entre los muchos misterios de las matemáticas, los números de Dedekind, descubiertos en el siglo XIX por el matemático alemán Richard Dedekind, han capturado la imaginación y la curiosidad de los matemáticos a lo largo de los años.
Hasta hace poco, se conocían solo los ocho primeros números de Dedekind, pero ahora, en un sorprendente giro de los acontecimientos, dos grupos de investigación independientes de la Universidad Católica de Lovaina y de la Universidad de Paderborn han logrado lo impensable y han resuelto el problema matemático calculando el noveno número de Dedekind.
Ambos estudios, uno presentado en el servidor de preimpresiones arXiv el 5 de abril y el otro el 6 de abril, sin ninguna relación entre sí, llegaron a la misma cifra precisa.
Noveno número D(9)
El número, conocido como «noveno número de Dedekind» o D(9), que se calcula que equivale a 286 386 577 668 298 411 128 469 151 667 598 498 812 366 –42 dígitos frente a los 23 dígitos del D(8), descubierto en 1991– es en realidad el décimo de una secuencia.
Cada número de Dedekind encarna la cantidad de configuraciones posibles de un tipo específico de operación lógica de verdadero-falso en diversas dimensiones espaciales. El primer número de la secuencia, D(0), representa la dimensión cero. Por lo tanto, D(9), que simboliza nueve dimensiones, es el décimo número en la secuencia.
La comprensión del concepto de números de Dedekind resulta desafiante para aquellos que no se dedican a las matemáticas, y mucho menos su resolución. De hecho, los cálculos son extremadamente complejos, dado que los números de Dedekind aumentan de forma exponencial con cada nueva dimensión. Esto implica que se vuelven cada vez más difíciles de precisar y los números involucrados son tan enormes que descubrir el valor de D(9) se consideraba incierto en algún momento.
«Durante 32 años, el cálculo de D(9) fue un reto abierto, y era cuestionable si alguna vez fuera posible calcular este número», afirma el informático Lennart Van Hirtum, de la Universidad de Paderborn (Alemania).
Números Dedekind
Los números Dedekind son una serie de números enteros en rápido crecimiento. En el núcleo de los números Dedekind se encuentran las «funciones booleanas monótonas», una forma de lógica que selecciona una salida basada en entradas que consisten en solo dos estados posibles (binario), como verdadero y falso, o 0 y 1.
Las funciones booleanas monótonas son aquellas que restringen la lógica de tal manera que cambiar un 0 por un 1 en una entrada solo provoca que la salida cambie de un 0 a un 1, y no de un 1 a un 0.
Para ilustrar este concepto, los investigadores utilizan los colores rojo y blanco en lugar de 1s y 0s, aunque la idea subyacente es la misma.
«Básicamente, se puede pensar en una función booleana monótona en dos, tres e infinitas dimensiones como un juego con un cubo de n dimensiones», dice Van Hirtum. «Equilibras el cubo en una esquina y luego coloreas cada una de las esquinas restantes de blanco o rojo».
«Solo hay una regla: nunca debes colocar una esquina blanca encima de una roja. Esto crea una especie de intersección vertical rojo-blanco. El objetivo del juego es contar cuántos cortes diferentes hay», agregó.
Así, el número Dedekind representa el máximo posible de cortes o intersecciones que se pueden hacer en un cubo de n dimensiones satisfaciendo la regla. En este caso, las n dimensiones del cubo corresponden al enésimo número de Dedekind.
Por ejemplo, el octavo número Dedekind tiene 23 dígitos, que es el número máximo de cortes diferentes que se pueden hacer en un cubo de ocho dimensiones cumpliendo la regla.
Calcular el noveno número de Dedekind
En 1991, un superordenador Cray-2 (uno de los más potentes de la época, pero menos potente que un smartphone moderno) y el matemático Doug Wiedemann tardaron 200 horas en calcular D(8).
D(9) acabó siendo casi el doble de largo que D(8), y requirió un tipo especial de superordenador: uno que utiliza unidades especializadas llamadas Field Programmable Gate Arrays (FPGA) que pueden realizar múltiples cálculos en paralelo. Esto llevó al equipo al superordenador Noctua 2 de la Universidad de Paderborn.
Dada la complejidad computacional de calcular el noveno número de Dedekind de D(9), el equipo utilizó la fórmula del coeficiente P desarrollada por el director de la tesis de máster de Van Hirtum, Patrick De Causmaecker. El procedimiento del coeficiente P permitió al equipo calcular el noveno número de Dedekind mediante una gran suma en lugar de contar cada término de la serie.
«En nuestro caso, aprovechando las simetrías de la fórmula, pudimos reducir el número de términos a ‘solo’ 5,5×1018, una cantidad enorme. En comparación, el número de granos de arena en la Tierra es de unos 7,5×1018, que no es nada despreciable, pero para un superordenador moderno, 5,5×1018 operaciones son bastante manejables», afirma Van Hirtum, quien cree que para calcular el décimo número de Dedekind será necesario un salto similar en la potencia de procesamiento de los ordenadores.
«Si lo hiciéramos ahora, se necesitaría una potencia de procesamiento equivalente a la potencia total del Sol», afirma, lo que lo hace, una vez más, «prácticamente imposible» de calcular.
*DW
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